INCREMENTO Y TASA DE CAMBIO

El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando

ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.

Los siguientes ejemplos ilustran tales situaciones.

DEFINICIÓN Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces,

el cambio en el valor de x, que es x2 xl, se denomina el incremento de x y

se denota por x.

Usamos la letra griega (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier

variable.

x denota el cambio de la variable x

p indica el cambio de la variable p

q denota el cambio de la variable q

Sea y una variable que depende de x tal que y f(x) está definida para todo valor

de x entre x1 y x2. Cuando x x1, y tiene el valor y1 f(x1). De manera similar,

cuando x x2, y tiene el valor y2 f(x2). Así, el incremento de y es

y y2 y1

f(x2) f(x1)

EJEMPLO 1.
 El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende
del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen
de venta q (en litros por día) está dado por
q = 500(150 - p)
Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en
el precio de 120¢ a 130¢ por litro.
Solución Aquí, p es la variable independiente y q la función de p. El primer valor
de p es p1 = 120 y el segundo valor es p2 =130. El incremento de p es
Delta p= p2 - p1 = 130 - 120 = 10
Los valores correspondientes de q son los siguientes:

q1 = 500(150 - p1) = 500(150 - 120) = 15,000
q2= 500(150 - p2) = 500(150 - 130) = 10,000
En consecuencia, el incremento de q está dado por
Deltaq= q2 - q1= 10,000 - 15,000= - 5000

El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo
significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por
día si el precio se incrementa de 120 a 130 centavos

Sea P el punto (x1, y1) y Q el punto (x2, y2), ambos situados en la gráfica de la
función y f(x). (Véase la figura 1). Entonces, el incremento Delta x es igual a la distancia
horizontal de P a Q, mientras que Delta y es igual a la distancia vertical de P a Q.
En otras palabras, Delta x es el recorrido y Delta y es la elevación de P a Q.

En el caso ilustrado en la parte a) de la figura , tanto x como y son positivos.
Es posible que x, y o ambos sean negativos y aún y puede ser cero. Un
ejemplo típico de un caso en que x 0 y Delta y 0 se ilustra en la parte b) de la figura
1.
En algunas de las aplicaciones que abordaremos más adelante, nos convendrá
pensar el incremento x como muy pequeño (esto es, sólo desearemos considerar
pequeños cambios en la variable independiente). Se sobreentiende, por antonomasia,
que x significa un cambio pequeño de x más bien que sólo un incremento. Sin
embargo, en esta sección no se pondrá alguna restricción en el tamaño de los incrementos
considerados; pueden ser pequeños o relativamente grandes.
Resolviendo la ecuación x x2 x1 para x2, tenemos x2 x1 x. Usando
este valor de x2 en la definición de y, obtenemos
Deltay f(x1 + Deltax) - f(x1)
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, suprimimos el subíndice y escribimos

Delta y + f(x +Delta x) - f(x)
En forma alternativa, dado que f(x) = y, podemos escribir
y + Delta y = f(x + Delta de x)

EJEMPLO 2.
(Costo, ingresos y utilidades) Un fabricante de productos químicos

advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está
dado por C(x) = 20,000 + 40x dólares y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas
está dado por R(x) = 100x - 0.01x2. La compañía actualmente produce 3100
toneladas por semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas
por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la
utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra
producidas.
Solución El primer valor de x es 3100 y x + Delta x = 3200:
Delta C = C(x + Delta x) - C(x)
=C(3200) - C(3100)
=[20,000 + 40(3200)] - [20,000 + 40(3100)]
=148,000 - 144,000 = 4000
DeltaR R(x + Delta x) - R(x)
=R(3200) - R(3100)
=[100(3200) - 0.01(3200)2] - [100(3100) - 0.01(3 100)2]
=217,600 - 213,900 = 3700
De modo que los costos se incrementan en $4000 con el incremento dado en la producción,
mientras que los ingresos se incrementan en $3700.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.
Podemos advertir esto con más detalle si consideramos que las utilidades obtenidas
por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad
P(x) por la venta de x toneladas de fertilizante es
P(x) = R(x) - C(x)
=100x - 0.01x2 - (20,000 + 40x)
=60x - 0.01x2 - 20,000
En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a 3200 es
DeltaP = P(3200) - P(3100)
= [60(3200) - 0.01(3200)2 - 20,000] - [60(3100) - 0.01(3100)2 - 20,000]
=69,600 - 69,900= - 300
Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por
tonelada extra es

en donde Delta x 3200 - 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio
de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción.