DERIVADAS

DEFINICIÓN Sea y f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x,

denotada por dy/dx, se define por.

con tal de que este límite exista.

A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación

de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.

Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es

diferenciable en tal punto.

La derivada de y f(x) con respecto a x también se denota por uno de los siguientes

símbolos:

Cada una de estas notaciones indica exactamente lo mismo que dy/dx.

Observación dy/dx representa un solo símbolo y no deberá interpretarse como

el cociente de las cantidades dy y dx. Con la finalidad de ampliar la notación,

note que dy/dx indica la derivada de y con respecto a x si y es una función de la variable

independiente x; dC/dq denota la derivada de C con respecto a q si C es una

función de la variable independiente q; dx/du indica la derivada de x con respecto

a u si x es una función de la variable independiente u. De la definición,

1. Calculamos y =  f(x) y +yDelta y = f(x + Deltax).

2. Restamos la primera cantidad de la segunda a fin de obtener y y simplificamos

el resultado.

3. Dividimos Delta y entre Delta x y entonces tomamos el límite de la expresión resultante

cuando Delta x → 0.

El valor de dy/dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando utilizamos

la notación f′(x), la cual indica que la derivada f′(x) es una función de x. El valor

de la derivada en un punto particular, digamos x = 2, entonces es f′(2). Por

ejemplo, en el ejemplo 1 evaluamos dP/dt en t = 5, o de forma equivalente, P′(5).

DERIVADAS ELEVADA A UNA POTENCIA


Esta tarea puede simplificarse en forma apreciable usando
ciertas fórmulas estándar. En esta sección, desarrollaremos fórmulas con el propósito
de encontrar las derivadas de funciones elevadas a una potencia y combinaciones
de ellas.


TEOREMA 1
a) La derivada de una función constante es cero
b) Si y   = x, entonces dy/ dx = 1
c) Si y  =x2, entonces dy/ dx = 2x
d) Si y =x3, entonces dy/ dr = 3x2

DEMOSTRACIÓN
a) En la función y Ax3 Bx2 Cx D, hagamos A, B y C iguales a cero.
Entonces y D, una función constante. La expresión general de dy/dx es 3Ax2
2Bx C (por el ejemplo 4 de la sección 11.3) y es cero cuando A B C 0.
b) Si hacemos A B D 0 y C 1, obtenemos y x y dy/dx 1, como
se requería.
c) y d) se prueban en forma similar.
En términos geométricos, la parte a) del teorema 1 asegura que la pendiente
de la línea y c es cero en todo punto de ella. Es obvio que esto es cierto porque
la gráfica de y c es una línea horizontal, y cualquier línea horizontal tiene pendiente
cero.

TEOREMA 2 Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante, entonces

Esto es, la derivada del producto de una constante y una función de x es igual al

producto de la constante y la derivada de la función.

TEOREMA 3 Si u(x) y (x) son dos funciones diferenciables de x, entonces,

d                du      dv

----(u+v)= ----+------

dx              dx     dx 

En otras palabras, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las

derivadas de las dos funciones.

TEOREMA 4 La derivada de xn con respecto a x es nxn 1, en donde n es un entero

positivo.

DEMOSTRACIÓN Sea y = xn. Cuando x cambia a x + Delta x, y se incrementa a y +

Delta y, en donde