CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función  es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a  y  debe ser un máximo relativo de .

TEOREMA DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea  una función tal que  y la segunda derivada de  existe en un intervalo abierto que contiene a 

1. Si , entonces  tiene un máximo relativo en .
2. Si , entonces  tiene un mínimo relativo en .

Si , entonces el criterio falla. Esto es,  quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en  o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

PASOS PARA OBTENER EL PUNTO CRITICO DE UNA FUNCION 

1.  Se obtiene la F`(X) de determinada funcion
2. Y´= 0 para obtener los puntos criticos
3. Y`` es decir sacamos la segunda derivada y sustituimos los valores criticos ( punto 2 ) para saber si hay un maximo o un minimo
4. encontramos la coordenada (x,y)

ejemplo :   f(X)= X^3 + 3X^2 - 8

1. F`(X)= 3X^2 +6X    
2. 0 = 3X^2 + 6X

                3X(X+2)

                3X=0                       X1= (X+2)=0

                X=0                         X2=X=-2

      3. F``(X)=6X+6

          F``(0)= 6

          F``(-2)= -6

      4. F(0) = (0)^3+3(0)^2-8

          F(0) = -8 → (0,-8) minimo

          F(-2) = (-2)^3+3(-2)^2-8 

          F(-2) = -4 → (-2,-4) maximo

• F(X) = X^4-8X^2+3

1. F`(X) = 4X^3-16X
2. 0 = 4X^3-16X

           X=2                    X=0                 X=-2

     3. F``(X) = 12X^2-16

         F``(2) = 12(2)^2-16 → 32     minimo

         F``(0) = 12(0)^2-16 → -16   maximo

         F``(-2)= 12(-2)^2-16 → 32   minimo

     

     4.F(2) = 2^4-8(2)^2+3= -13                 → (2,-13)

        F(0) = 0^4-8(0)^2+3=    3                  →(0, 3)

        F(-2) = -2^4-8(-2)^2+3=-13              →(-2,-13)