ANALISIS MARGINAL
La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía en la construcción
de lo que denominamos tasas marginales. En este campo, la palabra “marginal”
se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa de cambio. Se dará una
selección de ejemplos.
Costo marginal
Suponga que el fabricante de cierto artículo descubre que con la finalidad de producir
x de estos artículos a la semana, el costo total en dólares está dado por C 200
0.03x2. Por ejemplo, si se producen 100 artículos a la semana, el costo está dado
por C = 200 + 0.03(100)2 = 500. El costo promedio por artículo al producir 100
artículos es
500 = $5
100
Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a (100 + Delta x)
unidades por semana, en donde Deltax representa el incremento en la producción semanal.
El costo es.
 |
En el caso de una función de costo general C(x) que represente el costo de
producir una cantidad de x de cierto artículo, el costo marginal se define en forma
similar por
Costo marginal= Lim DeltaC = Lim C( x + Deltax) -c8x)
x->0 DeltaX x->0 Deltax
Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de la función de costo
con respecto a la cantidad producida.
Costo marginal = dC
dx
El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento
de la cantidad producida.
Informalmente podemos decir que el costo de producir el artículo número 51 es de
$17.50, el artículo número 101 tiene un costo de $10 y el artículo número 151 cuesta
$17.50. (Afirmaciones como ésta no son lo bastante precisas, dado que la derivada
de la tasa de un incremento infinitesimalmente pequeño en la producción, no para
un incremento unitario)
Costo promedio por artículo = c(x)
x
Esto es muy diferente del costo marginal, que está dado por la derivada C
(x). El
costo marginal representa el costo promedio por unidad adicional de un pequeño incremento
en la producción. El costo promedio por lo regular se denota por C (x).
Ingreso y utilidad marginales
Ahora consideramos los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios
de una empresa. Si R(x) denota el ingreso en dólares por la venta de x artículos, definimos
el ingreso marginal como la derivada R
(x).
Ingreso marginal R(x)= Lim DeltaR
x->0 Delta x
Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a x x, entonces existe
un incremento correspondiente en el ingreso dado por
DeltaR = Nuevo ingreso - Ingreso original = R (x + Deltax) - R(x)
El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido se obtiene dividiendo
R entre el número de artículos adicionales, lo que da R/ x. El valor límite
de este promedio cuando x → 0 da el ingreso marginal. Así pues, el ingreso
marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional
vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos.
Esto es, la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen
de ventas.
Productividad marginal
Considere que un fabricante tiene una cantidad fija de disponibilidad de capacidad
de producción pero con un número variable de empleados. Denotemos con u la cantidad
de mano de obra empleada (por ejemplo, u podría ser el número de horas-hombre
a la semana de los empleados de la industria) y sea x la cantidad de producción
(por ejemplo, el número total de artículos producidos a la semana). Entonces x es
función de u y podemos escribir x f(u).
Si la cantidad de mano de obra u sufre un incremento u, la producción x se
incrementa a x x en donde, como de costumbre, el incremento en la producción esta dado por
Deltax = f(u + Deltau) - f(u)
la razon
Deltax = f(u + Deltau) - f(u)
Deltau Deltau
proporciona la producción adicional promedio por unidad extra de mano de obra correspondiente
al incremento u. Si ahora hacemos que u tienda a cero, esta razón
se aproxima a la derivada dx/du, que se denomina productividad marginal de mano
de obra. Así,
De modo que la productividad marginal de mano de obra mide el incremento en la
producción por unidad de mano de obra adicional, por ejemplo, por hora-hombre
adicional, cuando se realiza un pequeño incremento en la cantidad de mano de obra
empleada. Está dada por la derivada f(u).
Rendimiento marginal
Suponga que un inversionista se enfrenta con el problema de saber cuánto capital
debe invertir en un negocio o en una empresa financiera. Si se invierte una cantidad
S, el inversionista obtendrá cierto rendimiento en la forma de ingresos de, digamos,
Y dólares por año. En general, el rendimiento Y será una función del capital S invertido:
Y f(S). En un caso característico, si S es pequeña, el rendimiento también
será pequeño o aun cero, puesto que la empresa no dispondrá del capital suficiente
para operar con eficiencia. A medida que S aumenta, la eficiencia de operación mejora
y el rendimiento crece rápidamente. Sin embargo, cuando S se hace muy grande,
la eficiencia puede deteriorarse otra vez si los demás recursos necesarios para la
operación, tales como la mano de obra e insumos, no pueden crecer lo suficiente
para mantener el ritmo del capital extra. En consecuencia, en el caso de grandes capitales
S, el rendimiento Y puede descender de nuevo a medida que S continúa su
crecimiento.
La rendimiento marginal se define como la derivada dY/dS. Se obtiene como
el valor límite de Y/ S y representa el rendimiento por dólar adicional invertido
cuando se realiza un pequeño incremento en el capital.
Tasa de impuesto marginal
Sea T la cantidad de impuestos pagados por un individuo o por una corporación
cuando el ingreso es I. Así, podemos escribir T f(I). Si todas las demás variables
permanecen fijas, un incremento I en I provoca un aumento en T dado por T
f(I I) f(I). La razón T/ I representa la fracción del incremento del ingreso
que se pierde en forma de impuestos. Si hacemos que I tienda a cero, esta razón
se aproxima a la derivada dT/ dI, la cual se denomina la tasa marginal de impuestos.
Representa la proporción de un incremento infinitamente pequeño en el ingreso que
debe pagarse en forma de impuesto.
La tasa marginal de impuestos está determinada por las escalas graduadas de
impuestos. Los individuos con ingreso muy bajos no pagan impuestos, y por debajo
de cierto nivel de ingreso la tasa marginal es cero. A medida que el ingreso aumenta,
la tasa de impuestos marginal aumenta hasta que alcanza un nivel máximo
igual a la proporción máxima que puede pagarse de acuerdo con la escala. (Véase
ejemplo 8 de la sección 11-6).
Tendencias marginales a ahorrar y a consumir
Sea I el ingreso total (producto nacional bruto) de una nación. Cada individuo de la
población que recibe parte de este ingreso toma una decisión con el propósito de
gastar parte de su ingreso en bienes consumibles o servicios y ahorrar el resto. Sea
C la cantidad total gastada por la población en artículos consumibles y S la cantidad
total de los ahorros. Se sigue que S C I.
En general, la cantidad ahorrada está determinada por el ingreso nacional, y
podemos escribir S f(I). La cantidad consumida está dada entonces por
C = I - F(I)
Si el ingreso nacional recibe un incremento I, los ahorros y el consumo también
sufren incrementos S y C, respectivamente
EJEMPLO 1.
Ingreso Total
El fabricante de una empresa de balones sabe que sus ingresos semanales por la producción y venta de 100 balones de una referencia M esta dada por : R(x) = 65x-0.05x2 X = 100
R(100) = 65 (100) - 0.0(100)2
R(100) = 6000 $
los ingresos totales de producir y vender 100 balones de referencia M a la semana es de 6000$
Ingreso marginal
R'(x) = 65 -0.1x
R'(100) = 65 - 0.1(100)
R'(100) = 55
En promedio por cada unidad extra producida y vendida los precios aumentan en 55 $
Ingreso Promedio
x 100
en promedio los ingresos por por balon producido y vendido es de 60$ cuando se producen 100 semanales
Ejemplo 2.
Un fabricante estima que si se produce Q unidades de un determinado articulo el costo total sera de
C(x) = 0.4 x2 + 3x + 10 $
Y todas las unidades podrán venderse a precio de :
P= 0.2 (45 -0.5x) $ por unidad
Calcular la utilidad marginal y promedio si se producen y venden 6 unidades
utilidad = ingreso - costo
utilidad = R(x) - C(x) R(x) = x*p
R(x) = x*0.2(45-0.5x)
R(x) = 9x - 0.1 x2-------------------> Formula de ingreso
Utilidad Total U(x) = 9x2 - 0.1x2 - (0.4x2 + 3x + 10x )
U(x) = 9x2 - 0.1x2 - 0.4x2 -3x -10x
U(x) = 6x- 0.5x2 - 10x -------------> Formula de Utilidad
U(6) = 6(6) .0.5(6)2 -10(6)
U(6) = 8 $
si se producen y venden 6 unidades la utilidad total es de 8$
Utilidad marginal
U'(x) = 6 -x
U'(6) = 6 -6
U'(6) = 0
en promedio si se produce y se vende una unidad de mas la utilidad promedio no aumenta
Utilidad promedio
en promedio por cada unidad vendida se genera una utilidad de 1.3 $
Más conocimientos.
ResponderEliminarEl resultado de observar la exposición escrita no solo nos favorece al aprender lo visto, sino que además conocemos profesionales de la Estadística aportando conocimientos a todo (a) aquel (a) que esté interesado (a) en participar y aprender en colectividad. Gracias a Dios por las experiencias que adquirimos cada día.