LIMITES

DEFINICIÓN Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x
cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x)
cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como
se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos,
escribimos

lím   f(x) =  L o bien f(x) → L cuando x → c
x→c

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Ejemplos Problemas de aplicacion.

1) se sabe que el precio de un articulo (P) a través del tiempo (T) (en meses) esta dado
por la funcion: P(t) = 5t + 8 / t +1
si se sabe que el precio de este articulo el próximo mes sera de 6.50 dolares y el siguiente mes sera de
6 Dolares se desea saber.
a) el precio del articulo para este mes
b) en que mes el precio sera 5.50 dolares
C) que ocurre con el precio a largo plazo

Solucion.

a) T= 0 - mes actual T = 1 Proximo mes
P(0) = 5 (0) + 8 / 0 + 1
P(0) = 8
en valor del producto en este mes es de 8 Dolares
b) 5.50 =  5t + 8 / t + 1
    5.50(t+1)= (5t+8)
    5.50t+5.50 = (5t+8)
    5.50t-5t=8-5.50
    0.50t= 2.50
    T = 2.50/0.50
    T = 5
en el mes 5 el valor del producto sera de 5.50 Dolares
c)Lim     5t +8 / t + 1
  x->oo

Lim       (5t/t +8/ t)/ (t/t + 1/t) = Cancelamos T = (5)/(1) = 5
x->oo
A largo plazo el valor del producto va a ser de 5 $